मान लीजिए कि k = 1, 2, 3, ... के लिए {f_k}(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${f_k}(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$।$k=4$ के लिए,${f_4}(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4}$।सर्वसमिका $\sin^4 x + \cos^4 x =

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$\frac{1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${f_k}(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$।$k=4$ के लिए,${f_4}(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4}$।सर्वसमिका $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:${f_4}(x) = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$।$k=6$ के लिए,${f_6}(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6}$।सर्वसमिका $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:${f_6}(x) = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$।अब,${f_4}(x) - {f_6}(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$।

मान लीजिए कि $k = 1, 2, 3, ...$ के लिए ${f_k}(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$ है। तो सभी $x \in R$ के लिए,$f_4(x) - f_6(x)$ का मान किसके बराबर है?

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